游戏开发中的矩阵初探
一、矩阵在 3D 空间中的作用
1. 几何变换计算
在 3D 空间中，我们常常会遇到复杂的几何变换问题。例如，有一个长方体 A，需要绕点（10，3，4）旋转 50°，同时沿着 x 方向放大 2 倍，并向（9， -1，8）方向平移 2 个单位。此时，应用矩阵就可以轻松地计算出经过这些变换后，新的长方体各个点的坐标。
2. 坐标系转换
当我们知道子坐标系在父坐标系中的位置时，利用矩阵能够求出子坐标系中的点在父坐标系中的位置。
二、矩阵的基础知识
矩阵能够描述任意线性变换。线性变换具有一个重要特性，即它会保留直线和平行线。不过，在保留直线的同时，其他几何性质，如长度、角度、面积和体积，可能会被变换所改变。简单来说，线性变换可能会“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。
1. 平移
以下矩阵可以将一个点向 t 矢量方向平移： （此处原文未给出具体矩阵，需补充完整才能更准确）
2. 旋转
旋转的正方向规定为从旋转轴正向看过去的逆时针方向。例如，绕 z 轴[0, 0, 1]旋转时，正方向为从 x 轴至 y 轴的方向。
已知绕着三个坐标轴的旋转矩阵后，下面来看绕任意向量所得的矩阵。设 M 为单位矩阵经向量 a 旋转后的矩阵，且 a = (xa, ya, za)，旋转角度为 α，则： （此处原文未给出具体的矩阵表达式，应补充完整） 虽然这里不详细推导其原理，但在实际应用中记住这个结论即可。
3. 缩放
若缩放点为 r，X 轴缩放系数为 sx，Y 轴缩放系数为 sy，Z 轴缩放系数为 sz，则点的新坐标可以通过相应的计算得到： （此处原文未给出具体的坐标计算公式，需补充完整）
4. 综合变换
例如，要对坐标系中的所有点进行以下操作：先平移[2, 3, 4]（即 X 轴平移 2，Y 轴平移 3，Z 轴平移 4），再绕 z 轴旋转 90°，最后将 X、Y、Z 轴都放大 2 倍。此时，得到的变换矩阵需要按照一定的规则进行组合。需要注意的是，缩放操作不是简单地将 sx，sy，sz 位置相乘，而是每一轴的模为缩放值。并且，最后的变换矩阵的计算并非简单的相乘，需要根据具体的变换顺序和矩阵运算规则来确定。
三、子空间向父空间的变换
把点或方向从任何子坐标系 C 变换至父坐标系 P 的矩阵，可写作 Mc - p。此矩阵表示的是将点或方向从子空间变换至父空间。以下等式可以将任何子空间位置矢量 Pc 变换至父空间位置矢量 Pp：Pp = PcMc - p。
Mc - p 的具体形式如下： （此处原文未给出具体矩阵形式，应补充完整） 其中：
- ic 为子空间 x 轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示；
- jc 为子空间 y 轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示；
- kc 为子空间 z 轴的单位基矢量，此矢量以父空间坐标表示；
- tc 为子坐标系相对于父坐标系的平移。
四、坐标系中点的 RST（旋转平移缩放）
《OpenGl 超级宝典第四版》P101 页提到：如果一个 4×4 矩阵包含了一个不同的坐标系统的位置和方向（可以看成上面的 Mc - p），那么，把一个顶点 Pp 与这个矩阵相乘，其结果就是一个变换到该坐标系统的新顶点 Pc（坐标还是相对于原坐标系）。但这里原文表述容易产生误解，将 Pp 改名为 A，其坐标为 V，由于是线性变换，所以在新坐标系统中 A 的坐标还是 V。这就与 Pp = PcMc - p 一致了，此时 Pp 为 A 在新坐标系统中 V 在原坐标系中的坐标。
五、OpenGl 中的矩阵变换
在 OpenGl 中，矩阵的变换是叠加的。每进行一次矩阵变换，就会把零点移到新的坐标系中。后续的变换只影响当前坐标系及其子坐标系，不会影响其父坐标系。载入单位矩阵的作用是将零点重新置为最初的零点。
需要注意的是，单纯的矩阵运算不会移动零点位置，所以与单位矩阵相乘不会产生任何实际效果。
参考资料
- 《OpenGl 超级宝典第四版》P101
- 《游戏引擎架构》P151
- 《OpenGL 中 glRotatef()函数究竟对矩阵做了什么》
- 《3D 数学 ---- 矩阵的几何解释》